کتاب معادلات دیفرانسیل رشته برق 

کتاب های آمادگی آزمون کارشناسی ارشد سراسری رشته برق گرایش مخابرات ویژه کنکور سال 95 - به همراه تست ها و پاسخ تشریحی

فهرست مطالب 

فصل اول: فیتعار هیاول معادلات نسید لیفرا ..............................................................................................9

معادلات سید لیفران مرتبه اول................................................................................................ ...............11

معادلات مرتبه اول یجدائ ریپذ ( کیتفک ریپذ ) ............................................................................................11

معادلات سید لیفران همگن...................................................................................................................13

معادلات سید لیفران مرتبه اول از نوع کامل................................................................................................ .17

عامل انتگرال ساز..............................................................................................................................19

قضیه اولر:................................................................................................................................ ......20

معادله یخط مرتبه اول.........................................................................................................................25

معادله یبرنول ................................................................................................................................ ..27

معادله تیر یکا ................................................................................................................................ .30

معادله لاگرانژ................................................................................................................................ ..30

دو کاربرد از معادلات نسید لیفرا مرتبه اول.................................................................................................31

دستههاي منحنیها و مسیرهاي قائم ................................................................................................ .......31

مسیرهاي قائم در مختصات دکارتی................................................................................................ .........31

مسیرهاي قائم در مختصات قطبی................................................................................................ ...........32

مسیرهاي مایل ................................................................................................................................32

پوش منحنی................................................................................................................................ ...33

تست يها یفیتأل فصل اول .................................................................................................. .............. 34

جواب يها یفیتأل بخش اول ................................................................................................ .................42

فصل دوم: معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ...............................................................................................59

استقلال خطی جوابها.........................................................................................................................6

فصل اول: تعاریف اولیه معادلات دیفرانسیل 

تعریف :1 یک معادله دیفرانسیل، معادله اي است که ارتباط بین تابع و مشتقات آن و متغیر (هاي) مسـتقل موجـود در آن تـابع را

نشان می دهد. 

اگر تابع مورد نظر تنها از یک متغیر تبعیت کند، معادله دیفرانسیل حاکم بر آن از نوع معمولی و در غیر این صورت از نوع مشتقات

جزئی خواهد بود.

تعریف :2 بزرگترین مرتبه مشتق موجود در یک معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل می نامند. 

در معادلات دیفرانسیل معمولی اگر بتوان معادله را بر حسب بالاترین مرتبه مشتق به صورت یـک چنـد جملـه اي نوشـت، آن گـاه

درجه آن چند جمله اي را درجه معادله دیفرانسیل می گوییم. 

yyyxF نمـایش مـی n بطور کلی معادله دیفرانسیل مرتبه n ام با متغیر مستقل x و متغیر وابسته y را بـه صـورت (0 = ),,',...,

دهیم. 

در مثال قبل معادلات (3 1) و ( 4) و ( ) از مرتبه اول و معادله (2 ) از مرتبه دوم اسـت و همچنـین معـادلات ( (2 1) و )4) و ( درجـه

یک و معادله (3) درجه سه هستند. 

2 2 2 مثال 2. درجه و مرتبه معادله دیفرانسیل

)2('''" yxyeyyx

x

+=+ را مشخص کنید. 

معادله فوق از مرتبه سه و درجه یک است. 

تعریف :3 هر معادله به صورت زیر را معادله دیفرانسیل خطی می گوییم. 

تعریف 4: تابع (y=f(x را یک جواب معادله دیفرانسیل (0 ),,',...,

=

n

yyyxF می گوییم، هرگاه در معادله صدق کند. 

تعریف :5 جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل جوابی است که شامل یک یا چند ثابت دلخواه بوده و اگر هر مقدار دلخواهی را بـه

ثاب تها نسبت دهیم و حاصل کار در معادله مورد نظر صدق نماید. 

ثابت می شود ، هر معادله دیفرانسیل مرتبه n ام معمولی در جواب عمومی خود می تواند شامل n ثابت اختیاري (پارامتر) باشد. 

اگر جواب عمومی را تحت شرایط اولیه یا مرزي داده شده در مسأله قرار داده و ثابت هـا را تعیـین کنـیم، جـواب حاصـله را جـواب

خصوصی معادله تحت آن شرایط مینامیم . 

تعریف :6 جواب غیر عادي یک معادله دیفرانسیل تابعی است که بر تمام منحنی هاي مربوط به جواب عمومی مماس می باشـد، در

ضمن (I) جواب غیر عادي از جواب عمومی بدست نمی آید (II) معادلات خطی جواب غیرعادي ندارند. 

+= yy با شرط اولیه y(0)=4 را در نظر بگیرید. 

این معادله داراي جواب عمومی )(16

22

-+= ycx است زیرا در معادله صدق مـی کنـد. همچنـین از شـرط اولیـه داده شـده

+= yx یک جـواب خصوصـی معادلـه دیفرانسـیل اسـت. از طرفـی بـدیهی اسـت خطـوط 22 خواهیم داشت c=0، از این رو 16

y = ±4 نیز جواب معادله خواهد بود. 

نکته: هرگاه عامل انتگرالساز بصورت تابع ضربی از توا نهاي x و توا نهاي y باشد یعنی

m yx= باشد، میتوان با ضرب کردن

ba طرفین معادله در

yx و اعمال کردن شرط کامل بودن معادله مجهولات a و b . را تعیین کرد 

قضیه: اگر معادله dyy,xNdxy,xM( ) + ( ) کامل نباشد و Cy,xu = ( ) جواب آن باشد آنگاه بینهایت فاکتور انتگرال دارد. 

نکته: اگر معادله دیفرانسیل داراي یک فاکتور انتگرال باشد آنگاه داراي بینهایت فاکتور انتگرال است

دو کاربرد از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول 

دسته هاي منحنیها و مسیرهاي قائم 

یک دسته منحنی پارامتري به صورت 0c,y,xf = ( ) داریم که به ازاء هر مقدار پارامتر c یک منحنی در صفحه xy ایجاد میکند

حال میخواهیم یک دسته منحنی پارامتري ( k,y,xg ) پیدا کنیم که بر دسته منحنی ( c,y,xf ) عمود باشد. (یعنی زاویه بین

مماسهایشان در نقطه تقاطع ) 90 باشد 

مسیرهاي قائم در مختصات دکارتی 

براي تعیین مسیرهاي قائم خانواده منحنی ( k,y,xg ) به ترتیب زیر میتوان نوشت: 

1) معادله دیفرانسیل g را به صورت ( k,y,xg ) مرتب . میکنیم 

 2) در f به جاي ¢y مقدار

y

1

¢

- . میگذاریم 

3) حل معادله دیفرانسیل قسمت قبل، مسیرهاي قائم منحنی g را مشخص میکند. 

تس تهاي تألیفی فصل اول 

 -1 مسیرهاي قائم خانواده خطوط x + 2y = 2 را به دست آورید (C پارامتر – دلخواهی است) 

 {-2,-1} (د {2,-1} (ج {- 2,1} (ب {2,1} (الف

 -2 ناحی هاي از صفحه xy که در هر نقطه آن وجود و یکتایی جواب معادله زیر تضمین میشود کدام است؟ 

 2x + 5y ¹ o (ب 2x + 5y ¹ o (الف

 x + 6y ¹ o (د x + 4y ¹ o (ج

 -3 جواب عمومی معادله ي دیفرانسیل

کدام است؟ 

)(xy( )xy (الف 22

=+- C)xy()xy( (ب 2 -+ 4

222

 2 4

=-+ C)xy()xy( (ج

222

)(xy( =+- C)xy (د 2 4

22

 2 4

 -4 براي کدام معادلهي دیفرانسیل عناصر میدان امتدادي، در همهي نقاط هر خط موازي محور x، متوازي اند؟ 

2 الف) 

+= yxy

2

 ¢ = 1- 2 - )y()y(y (ب 

ج) 2xyy = ¢ د) 

yxxy- ¢ =

 -5 جوابهاي عمومی معادلهاي دیفرانسیل

22

2xy ¢ += 3yxyکدام است؟ 

332 الف) 

cxyx += ب) 

322

 =+ cxyx

ج) cxyx +=

22

 د) 223 =+ cxyx

 است؟ کدام 2cos sinx ydx + sin cosx ydy = o دیفرانسیل هي معادل عمومی جواب 6- 

cos inx = cys (الف 2

cos cosy = cy (ب 

2

cos osx = cyc (ج

2

sin sinn = cy (د 

2

 جوابهاي تألیفی بخش اول 

 -1 گزینه (4) صحیح است. 

با جایگذاري در معادله داریم: 

=++- o 

m- m- m

1 4xmxx)m(mx 2x

2 2 1

 -1 + m)m(m + 2 = o 

اینکه که توابع ,fyf

پیوسته باشند باید مخرجهایشان مخالف صفر باشد. 

 -3 گزینه (3) صحیح است. 

معادلۀ همگن است با فرض y = xu داریم ¢ uxuy + = ¢ و معادله به شکل زیر در میآید: 

1 2 Ln) nx)u( LnL /

و با جایگذاري

x

y

k = c و u =

-4

: داریم 

(y + x) (y - x)c Þ (y + x) (y - x ) = c 

3 2 2

 2 2 2 4

 -4 گزینه (2) صحیح است. 

چون طرف دوم معادله فقط در گزینه ( 2) مستقل از x است بنابراین عناصر میدان امتدادي در همهي نقاط هر خط موازي محور

x، خود متوازياند (بولیس). 

 -5 گزینه (2) صحیح است. 

معادله همگن است با فرض xuy,uxuy = ¢ + = ¢ : داریم معادلات دیفرانسیل

و با ضرب2

x در طرف دوم داریم: 

2 2 3=+ cxyx

 -6 گزینه (4) صحیح است.