کتاب ریاضیات مهندسی رشته مهندسی مکانیک  

کتاب های آمادگی آزمون کارشناسی ارشد سراسری رشته مهندسی مکانیک ویژه کنکور سال 95 - به همراه تست ها و پاسخ تشریحی

فهرست مطالب 

فصل اول:سري فوريه، انتگرال و تبديل فوريه..................................................................................................................................1 

فصل دوم:توابع مختلط، نگاشت ها..................................................................................................................................................97 

فصل سوم:دنباله ها و سري هاي مختلط...................................................................................... ................................................. 196 

فصل چهارم:انتگرال هاي مختلط...................................................................................................................................................244 

فصل پنجم:معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي .................. ......................................................................................................295

فصل اول:سري فوریه، انتگرال و تبدیل فوریه 

1-1 ) توابع متعامد 

k اگر مجموعه توابع

f را

n m (x),f (x) تابع دو اینصورت در ،باشند پیوسته [a ,b] هي باز در h(x) تابع و f (x) , k = 1,2 3, ,K

نسبت به تابع وزنی(h(x متعامد میگوئیم اگر bn m a

f (x)f (x)h(x)dx = ¹ m n ò o

f (x) , k = 1,2 3, ,K را یـک k اگر رابطهي فوق به ازاي هر دو مقـدار m n ¹ برقـرار باشـد در اینصـورت مجموعـه توابـع

مجموعه توابع متعامد نسبت به تابع وزنی (h(x در بازهي [a, b] می نامیم.معمولاً h(x) = 1 فرض میشود و ضرب داخلـی

دو تابع به صورت زیر معرفی میگردد 

1-3 ) همگرایی سري فوریه 

در این بخش ابتدا با دو مفهوم پیوستهي قطعهاي و هموار قطعهاي آشنا می . شویم 

تابع (f(x را در یک بازه پیوستهي قطعهاي می منامی اگر تعداد نقاط ناپیوستگی(f(x در این بازه متناهی باشـد و در هـر

نقطهي ناپیوستگی حدود چپ و راست(f(x . موجود باشد 

اگر توابع(f¢(x) , f(x در یک بازه پیوستهي قطعهاي باشند آنگاه تابع(f(x را هموار قطعهاي . مینامیم 

همگرایی سري فوریه (شرایط دیریکله): 

تابع متناوب(f(x با دوره متناوب T L = 2 مفروض است. اگر (f(x در (L,L-) هموار قطعهاي باشد آنگاه سـري فوریـهي

(f(x به مقدار زیر همگرا . میباشد 

الف) اگر تابع (f(x در = x a پیوسته باشد سري فوریه (f(x به (f(a همگرا می . باشد 

ب) اگر تابع(f(x در = x a ناپیوسته باشد سري فوریه (f(x به میانگین حدود چپ و راست تابع همگرا می . باشد 

1-4 ) بسط نیم دامنه (سري فوریه سینوسیو کسینوسی) 

سري فوریه کسینوسی: 

تابع (f(x در باز هي (o,L) مفروض است. این تابع را به یک تابع زوج متناوب مانند (g (x بسط می . دهیم 

سري فوریهي تابع (g(x در بازهي [o,L]، سري فوریه کسینوسی تابع(f(x . میباشد

نکته 6: همگرایی سري فوریه کسینوسی 

اگر تابع (f(x در باز هي (o,L) هموار قطعهاي باشد آنگاه سري فوریه کسینوسی (f(x . همگراست 

الف) اگر(f(x در نقط هي (a Î (o,L پیوسته باشد آنگاه سري فوریه کسینوسی در این نقطه به (f (a همگرا . میباشد 

ب) اگر (f(x در نقطهي(a Î(o,L ناپیوسته باشد آنگاه سري فوریه کسینوسی در این نقطه به ( f(a ) f(a1/2

- + é ù +

ë û همگرا 

. میباشد 

مجموعه تست

1ـ اگرi x F( ) e f(x)dx¥ - a-¥a = ò

تبدیل فوریهي(f(xباشد، تبدیلفوری هي cosax f(x)کدام است؟ 

 F(a - a) - F(a + a) 4( F(a - a) + F(a ) + a 3( F(a -a) - F(a ) + a 2( F(a - a) + F(a + a) ( 1

2ـ تبدیل فوریهي یکتابع فرد و حقیقی: 

1 ) یک تابع فرد و حقیقی است 2) یک تابع زوج و حقیقی است 

3 ) یک تابع زوج و موهومی محض است 4) یک تابع فرد و موهومی محض است 

3ـ مانده تابعz ef(z)z11=-

در نقطه منفرد z = o کدام است؟e (3 e (2 (1 1-1e -1 (43-1

= ، نوع ویژگی (تکینی) تابع در نقطه z = o چیست و مانده تـابع در ایـن نقطـه 2ویژه (تکین) چنداست؟ 

1 ) قطب ساده و صفر 2 ) قطب ساده و1/6

 3 ) نقطه تکین اساسی (قطب مرتبه بی نهایت) و1/6

- 4 ) نقطه تکین اساسی (قطب مرتبه بینهایت) و16 6z11=-

از متغیر مخـتلط z را در نظـر مـیگیـریم. در مـورد نقـاط تکـین (sin gularity) و

قطبهاي تابع کدام عبارت درست است؟ 

1 ) بینهایت قطب مکرر دارد z = 1 (2 تنها نقطه تکین تابع است 

3 ) فقط یک نقطه تکین اساسی دارد 4) بینهایت قطب ساده و یک نقطه تکین اساسی دارد 

37ـ فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده باشد 

(متغیر مختلط)cos z f(z) ,zz31- = ¹ oکدام یک از گزارههاي زیر صحیح است؟ 

)z = o 1 قطب ساده تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با1/2. است 

)z = o 2 قطب ساده تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با . 1 است 

)z = o 3 قطب مرتبه دو تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با1/2. است 

)z = o 4 قطب مرتبه سه تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با . 1 است